大学数学

《高等数学(1)》课程教学大纲

发布时间:2022-11-16 责任编辑:太阳集团tyc5997 

一、课程基本信息

1.制定依据:本大纲根据各理工科相关专业2020版本科人才培养方案制定

2.课程编号:JX030274

3.课程类别:公共基础课

4.学时/学分:80学时/5学分

5.开课学期:第1学期

6.适用专业:各理工科相关专业

7.先修课程:中学数学

8.后续课程:高等数学(2)、概率论与数理统计,其他相关专业课程

二、课程性质、目的和要求

本课程是工科本科各专业学生的一门必修公共基础课。通过本课程的学习,要使学生获得基本的系统的函数与极限、一元函数微积分学、常微分方程等方面的知识,在传授知识的同时,通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力,注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。通过本课程的教学,使学生掌握一元函数微积分、常微分方程等的基本概念、理论和基本运算技能及方法,可为学生学习相关后续课程,进一步扩大数学知识面及培养学生应用数学解决实际问题的能力奠定必要的基础。

三、教学方式

本课程针对一年级学生开设,考虑学生已有的中学数学知识,采用适当的教学方法;以课堂讲授为主,辅以多媒体教学软件,结合板书引导学生学习;并充分利用网络教学平台,提供更多的课外学习资料与习题,拓展学生的学习空间,加强与学生的沟通交流。

四、课程教学内容和要求

序号

知识单元

知识点

重点

难点

推荐学时

预期学习效果

1

函数、极限、连续

映射与函数



16

理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性;理解复合函数和反函数的概念;知道基本初等函数的性质及其图形;会建立简单实际问题中的函数关系式;了解极限的概念(对极限的 定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出求N或不作过高的要求),熟练掌握极限四则运算法则及应用;理解极限存在的夹逼准则,了解单调有界准则,掌握用两个重要极限求极限;了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限;理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念,了解间断点的概念,并会判别间断点的类型;了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。

数列的极限


函数的极限


无穷小与无穷大



极限运算法则


极限存在准则



无穷小的比较


函数的连续性与间断点



连续函数的运算与初等函数的连续性



闭区间上连续函数的性质



2

一元函数微分学

函数导数及求导法则


24

理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性、可微性与连续性之间的关系,会用导数描述一些物理量;熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性;了解高阶导数的概念;掌握初等函数一阶、二阶导数的求法;会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数.会求反函数的导数;理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理,了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理;掌握用罗必达(L’Hospital)法则求不定式的极限;理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法.会求解较简单的最大值和最小值的应用问题;

高阶导数



隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率



函数的微分


微分中值定理



洛必达法则


泰勒公式


函数的单调性与曲线的凹凸性




函数的极值与最值



会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描绘函数的图形;了解有向弧与弧微分的概念.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径.知道方程近似解的求法。

函数图形的描绘



曲率



3

一元函数积分学

不定积分的概念与性质


26

理解原函数与不定积分的概念及性质.熟练掌握不定积分的基本公式,掌握换元法和分部积分法;理解定积分的概念及性质,了解可积条件.会求简单的有理函数的积分;理解变上限的积分作为其上限的函数

及其求导定理,熟练掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式;掌握定积分的换元法和分部积分法;了解广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法;掌握用定积分计算一些几何量(如面积、体积、弧长)并会计算物理量(如功、引力等)。

换元积分法与分部积分法


有理函数的积分


积分表的使用



定积分的概念与性质


微积分基本公式



定积分的换元法和分部积分法


反常积分



定积分的应用


4

常微分方程

微分方程的基本概念


14

了解常微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念;熟练掌握可分离变量的方程的解法及掌握一阶线性方程的解法.会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程,了解用变量代换解方程的思想;会用降阶法解高阶微分方程:理解二阶线性微分方程解的结构;掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法;会求一些带自由项的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解;会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

可分离变量的微分方程



齐次方程



一阶线性微分方程


可降阶的高阶微分方程



高阶线性微分方程


常系数齐次、非齐次线性微分方程


五、课程的考核

成绩考核包括期末考试成绩、平时成绩。其中,期末考试成绩占70%,采用闭卷形式;平时成绩占30%,包括考勤、课堂回答问题、作业。

六、建议教材及教学参资料

建议教材:

1.黄立宏主编.高等数学(上、下册).北京:北京大学出版社,2018

教学参考书:

[1]同济大学应用数学系主编.高等数学(第六版)上、下册.北京:高等教育出版社,2011

[2]同济大学应用数学系编.微积分上、下册.北京:高等教育出版社,2011

[3]复旦大学陈传璋等编.数学分析上、下册.北京:高等教育出版社,2007

[4]工科数学课程教学指导委员会编.高等数学释疑解难.北京:高等教育出版社,2010

[5]同济大学高等数学教研室编.高等数学例题与习题.北京:同济大学出版社,2010

网络学习参考资源:

1.周朝晖等,《高等数学》MOOC,同济大学

https://www.icourse163.org/search.htm?search=%E9%AB%98%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6#/

(执笔人:沈金荣批准人:张作政)

 

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